قواعد مشتق و ۶ اشتباه رایج در امتحان نهایی ریاضی

مشتق بخش بزرگی از بارم امتحان نهایی ریاضی دوازدهم را به خود اختصاص می‌دهد و پایه‌ی فصل کاربرد مشتق هم هست. اگر قواعد را دقیق و بدون اشتباه محاسباتی اجرا کنید، نمره‌ی این بخش تقریباً تضمینی است.

قواعد اصلی

• توان: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
• ضرب: (f·g)′ = f′g + fg′
• تقسیم: (f/g)′ = (f′g − fg′) / g²
• زنجیره‌ای: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)
• رادیکال: (√u)′ = u′ / (2√u)

معادله‌ی خط مماس

خط مماس بر نمودار f در نقطه‌ی به طول a:

y − f(a) = f′(a)·(x − a)

مثال: برای f(x) = x² + 1 در a = 1: f(1) = 2 و f′(1) = 2، پس y = 2x.

کجا مشتق وجود ندارد؟

• نقاط ناپیوستگی
• نقاط گوشه‌دار؛ مثل |x| در صفر (مشتق چپ و راست برابر نیستند)
• نقاط مماس قائم؛ مثل ∛x در صفر

۶ اشتباه رایج

1. فراموش کردن مشتق تابع داخلی در قاعده‌ی زنجیره‌ای.
2. جابه‌جا نوشتن ترتیب صورت در قاعده‌ی تقسیم (f′g − fg′، نه برعکس).
3. مشتق گرفتن از ضرب، به شکل ضربِ مشتق‌ها.
4. ساده نکردن عبارت قبل از مشتق‌گیری و درگیر شدن با محاسبه‌ی طولانی.
5. قرار دادن عدد در تابع به‌جای مشتق هنگام نوشتن شیب خط مماس.
6. نتیجه‌گیری مشتق‌پذیری فقط از روی پیوستگی.